微积分/积分技巧/利用复数积分

← 积分技巧/分部积分

微积分

积分技巧/部分分式分解 →

积分技巧/利用复数积分

此方法需要理解和识别复数。特别是欧拉公式

cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) = e θ i {\displaystyle \cos(\theta )+i\sin(\theta )=e^{\theta i}}

例如，识别实部

Re { e θ i } = cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\text{Re}}\left\{e^{\theta i}\right\}=\cos(\theta )}

给定一个一般形式的积分

∫ e x cos ⁡ ( 2 x ) d x {\displaystyle \int e^{x}\cos(2x)dx}

我们可以将其复数化

∫ Re { e x ( cos ⁡ ( 2 x ) + i sin ⁡ ( 2 x ) ) } d x {\displaystyle \int {\text{Re}}{\Big \{}e^{x}{\big (}\cos(2x)+i\sin(2x){\big )}{\Big \}}dx}

∫ Re { e x ( e 2 x i ) } d x {\displaystyle \int {\text{Re}}{\big \{}e^{x}(e^{2xi}){\big \}}dx}

根据指数的基本法则

∫ Re { e x + 2 i x } d x {\displaystyle \int {\text{Re}}\{e^{x+2ix}\}dx}

可以证明，“实部”运算符可以移到积分符号之外

Re { ∫ e x ( 1 + 2 i ) d x } {\displaystyle {\text{Re}}\left\{\int e^{x(1+2i)}dx\right\}}

积分很容易求解

Re { e x ( 1 + 2 i ) 1 + 2 i } {\displaystyle {\text{Re}}\left\{{\frac {e^{x(1+2i)}}{1+2i}}\right\}}

用 1 − 2 i {\displaystyle 1-2i} 乘以和除以

Re { 1 − 2 i 5 e x ( 1 + 2 i ) } {\displaystyle {\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x(1+2i)}\right\}}

可以改写为

Re { 1 − 2 i 5 e x e 2 i x } {\displaystyle {\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x}e^{2ix}\right\}}

应用欧拉公式

Re { 1 − 2 i 5 e x ( cos ⁡ ( 2 x ) + i sin ⁡ ( 2 x ) ) } {\displaystyle {\text{Re}}\left\{{\frac {1-2i}{5}}e^{x}{\big (}\cos(2x)+i\sin(2x){\big )}\right\}}

展开

Re { e x 5 ( cos ⁡ ( 2 x ) + 2 sin ⁡ ( 2 x ) ) + i ⋅ e x 5 ( sin ⁡ ( 2 x ) − 2 cos ⁡ ( 2 x ) ) } {\displaystyle {\text{Re}}\left\{{\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}+i\cdot {\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\sin(2x)-2\cos(2x){\big )}\right\}}

取该表达式的实部

e x 5 ( cos ⁡ ( 2 x ) + 2 sin ⁡ ( 2 x ) ) {\displaystyle {\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}}

所以

∫ e x cos ⁡ ( 2 x ) d x = e x 5 ( cos ⁡ ( 2 x ) + 2 sin ⁡ ( 2 x ) ) + C {\displaystyle \int e^{x}\cos(2x)dx={\frac {e^{x}}{5}}{\big (}\cos(2x)+2\sin(2x){\big )}+C}